Умозаключение, посылки и заключение которого являются суж­дениями с отношениями, называется умозаключением с отноше­ниями. Например:

Петр — брат Ивана Иван — брат Сергея

Петр — брат Сергея

Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy.

Логическим основанием умозаключений из суждений с отноше­ниями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.

1. Отношение называется симметричным (от греческого sim-metria — «соразмерность»), если оно имеет место как между предме­тами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестанов­ка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Сим­метричными являются отношения равенства (если а равно Ь, то и Ь равно а), сходства (если с сходно с d, то и d сходно с с), одновремен­ности (если событие х произошло одновременно с событием у, зна­чит, и событие у произошло одновременно с событием х), различия и некоторые другие.

Отношение симметричности символически записывается:

xRy —> yRx.

2. Отношение называется рефлексивным (от латинского ге-flexio — «отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а=Ь,тоа=аиЬ=Ь) и одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, каждое из них произо­шло одновременно с самим собой).

Отношение рефлексивности записывается:

xRy —> xRx л yRy.

3. Отношение называется транзитивным (от латинского transi-tivus — «переход»), если оно имеет место между х и z тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда из отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z.

Транзитивными являются отношения равенства (если а равно Ь и b равно с, то а равно с), одновременности (если событие х произо­шло одновременно с событием у и событие у одновременно с собы­тием z, значит, событие х произошло одновременно с событием z), отношения «больше», «меньше» (а меньше Ь, b меньше с, значит, а меньше с), «позднее», «находиться севернее (южнее, восточнее, за­паднее)», «быть ниже, выше» и т.п.

Отношение транзитивности записывается:

(xRy л yRz) -> xRz.

Для получения достоверных заключений из суждений с отноше­ниями необходимо опираться на правила, вытекающие из свойств отношений.

Из свойства симметричности (xRy—>yRx) вытекает правило: если суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно. Например:

А подобно В В подобно А

Из свойства рефлексивности (xRy-^xRx л yRy) вытекает прави­ло: если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy. Например:

а=Ь а=аи b=b

Из свойства транзитивности (xRy л yRz—>xRz) вытекает правило:

если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждение xRz также истинно. Например:

К. был на месте происшествия раньше Л. Л. был на месте происшествия раньше М. К. был на месте происшествия раньше М.

Таким образом, истинность заключения из суждений с отноше­ниями зависит от свойств отношений и регулируется правилами, вытекающими из этих свойств. В противном случае заключение может оказаться ложным. Так, из суждений «Сергеев знаком с Пет­ровым» и «Петров знаком с Федоровым» не следует необходимого заключения «Сергеев знаком с Федоровым», так как «быть знако­мым» не является транзитивным отношением.